【簡介：】2 數(shù)學(xué)競賽的的基本內(nèi)容國際數(shù)學(xué)競賽的開展導(dǎo)致了競賽數(shù)學(xué)的誕生，競賽開始的那些年頭，其內(nèi)容主要是中學(xué)教材中的代數(shù)方程、平面幾何、三角函數(shù)，經(jīng)過40多年的發(fā)展，已形成一個源于

2 數(shù)學(xué)競賽的的基本內(nèi)容

國際數(shù)學(xué)競賽的開展導(dǎo)致了競賽數(shù)學(xué)的誕生，競賽開始的那些年頭，其內(nèi)容主要是中學(xué)教材中的代數(shù)方程、平面幾何、三角函數(shù)，經(jīng)過40多年的發(fā)展，已形成一個源于中學(xué)數(shù)學(xué)又高于中學(xué)數(shù)學(xué)的數(shù)學(xué)新層面，其思想方法逐漸與現(xiàn)代數(shù)學(xué)的潮流合拍.對1-51屆IMO試題(1959-2010)的統(tǒng)計表明，競賽數(shù)學(xué)正相對穩(wěn)定在幾個重點內(nèi)容上，可以歸結(jié)為四大支柱、三大熱點.

四大支柱是：代數(shù)，幾何，初等數(shù)論，組合初步(俗稱代數(shù)題、幾何題、算術(shù)題和智力題).三大熱點是：組合幾何、組合數(shù)論、集合分拆.

2-1 代數(shù)

代數(shù)是中學(xué)數(shù)學(xué)的主體內(nèi)容，其在競賽中占據(jù)重要地位是理所當然的，已廣泛涉及恒等變形、方程、函數(shù)、多項式、不等式、數(shù)列、復(fù)數(shù)、函數(shù)方程、矩陣等方方面面.近年的重要特點是：

(1)出現(xiàn)集中的趨勢.

統(tǒng)計表明，近30年來，難度較小的問題(如恒等變形、單一的解方程等)消失了，明顯超出中學(xué)范圍的問題(如矩陣等)也消失了，代數(shù)問題正在不等式、數(shù)列、函數(shù)方程上集中，這表明IMO代數(shù)題的命題趨向是，既在努力避開有求解程式的內(nèi)容、提高試題的難度，又在盡力避免超出中學(xué)生的知識范圍，而在思維的靈活性、創(chuàng)造性上做文章.

(2)運算與論證的綜合.

中學(xué)代數(shù)偏重于運算，并且常常有程序化、機械化的優(yōu)勢(運算可以看成是機械化的推理).作為高層次的競賽，停留在運算的熟練和準確上是不夠的，因而IMO的代數(shù)題常以抽象論證的面目出現(xiàn)，并且時間也允許進行大數(shù)字、多字母、多環(huán)節(jié)的硬運算，一方面精確的演算為推理提供論據(jù)，另一方面論證推理又提出演算的需要、兩者相輔相成.從理解題意開始，到運算結(jié)構(gòu)的分析、運算階段的連接，乃至整個解題程序的調(diào)控，都有運算與論證的交互推進，這構(gòu)成了IMO代數(shù)題的一個發(fā)展趨勢，也體現(xiàn)著代數(shù)思維的一般性和從過程到對象(凝聚)等特征.(預(yù)賽表明，是我們的一個弱點)

(3)與數(shù)論、組合、幾何的交叉.

代數(shù)知識在各個學(xué)科中都有基礎(chǔ)的作用，無論哪一門中學(xué)數(shù)學(xué)分支都少不了代數(shù)運算. IMO試題避開常規(guī)代數(shù)題的同時，正在加強與各個學(xué)科的綜合，不等式不僅有大量的數(shù)列不等式、最優(yōu)化背景不等式，而且有越來越多的幾何不等式、數(shù)論不等式、組合不等式：方程知識也在數(shù)論問題、幾何問題或其他離散問題中屢屢出現(xiàn).

2-2 幾何

歐幾里得的幾何雖然古老，但在提供幾何直覺和理性思維方面仍有不可替代的教育價值(許多科技工作者由此而啟蒙)，因而，歷來受到數(shù)學(xué)競賽的青睞，平面幾何證明已經(jīng)屬于IMO的屆屆必考的內(nèi)容，少則1題，多則2-3題.我國高中聯(lián)賽加試(二試)和冬令營考試，也是年年必有平面幾何題.

IMO中的幾何問題，包括平面幾何與立體幾何，但以平面幾何為主，立體幾何題從第22屆(1981)開始已經(jīng)20多年沒有出現(xiàn)了，這一方面是組合幾何的涌入，另一方面是新穎的立體幾何題不好找，有的過淺，有的過舊，有的過難.

(1)幾何題的內(nèi)容.

IMO的平面幾何數(shù)量較多、難度適中、方法多樣，可以分成三個層次.

第一層次，是與中學(xué)教材結(jié)合比較緊密的常規(guī)幾何題，雖然也有軌跡與作圖，但主要是以全等法、相似法為基礎(chǔ)的證明，重點是與圓有關(guān)的命題，因為圓的命題知識容量大、41